年表_数学/情報_18-SH

ｲｷﾞﾘｽの数学者ﾌﾗﾝｼｽ･ﾏｾﾚｽは、「負の数は存在しない」という結論に達する。

当時、数学者ｵｲﾗｰでさえ負の数は無限大より大きいと信じ、方程式が負の解を持つときはそれを無視するのが通例であった。紀元前100年には認知されていた負の数が、ﾖｰﾛｯﾊﾟでは18世紀になって数の種類としてようやく広く認められた。

円周率の無理数性の証明

※厳密性に欠ける

ｶﾞｳｽ9歳の時、先生が1~40までの自然数を足し算しなさいと言ってｸﾗｽの生徒に問題を出した。ｶﾞｳｽ少年は即座に820と言い、先生は驚いた。計算方法を聞き出したところ、(1+40)×20と答えた。先生も知らない計算方法を知り、2度驚いたとされる。

現在の等差数列(AP, arithmetical progression)の計算方法は、初項A、公差dとすると、第n項anは、An=A+(n-1)dとなり、

合計はSn=(初項+末項)×項数÷2=(A+An)×n÷2=(2a+(n-1)d)×n÷2となる。

※個人的にはこの計算方法はｷﾞﾘｼｬ時代の数学者は知っていても不思議でないと思われる。幾何学的に考えると円の面積を解くより見やすい。

素数定理「x以下の素数の個数は、x/lnxで近似できる」というもの。素数は不規則に現れるが、その個数(分布)についてある程度の予測が立つことを示唆している。

以下、実際に計算してみると、だいたい一致する。

100以下の素数は25個であるが、100/ln100 ≒100/4.6 ≒21.7個

500以下の素数は95個であるが、500/ln500 ≒500/6.2 ≒80.5個

1000以下の素数は168個であるが、1000/ln1000 ≒1000/6.9 ≒144.8個

10000以下の素数は1229個であるが、10000/ln10000 ≒10000/9.2 ≒1085.7個

1億以下の素数は5761455個であるが、1億/ln1億 ≒1億/18.4 ≒5434782.6個

※lnは自然対数。対数関数の計算機。

ｷﾞﾘｼｬ時代には定規とｺﾝﾊﾟｽだけで作図できる図形が研究対象とされ、正3角形、正方形、正5角形、正6角形は作図できることが確認されていた。また正7角形は作図できるのかが問題となっていた。

ｶﾞｳｽは18歳の時に、正7角形は作図不可能を証明し、2000年間の問題を解決した。

正17角形の作図法

ｶﾞｳｽの作図定理

※幾何学と素数の関係

ｶﾞｳｽは「素数pに対して正p角形が定規とｺﾝﾊﾟｽで作図できるのは、pがいくつの時か」を考えた。ｷﾞﾘｼｬ時代からp=3,5は作図できることは知られ、p=7はｶﾞｳｽが不可能であることを示した。

ｶﾞｳｽは次に作図可能となる素数が17であることを発見した。これはｶﾞｳｽの作図定理により説明される。つまり、「素数pがﾌｪﾙﾏｰ素数の時、正p角形が定規とｺﾝﾊﾟｽのみで作図できる」という定理である。

■忘れ去られたﾌｪﾙﾏｰ素数の復興

ﾌｪﾙﾏｰ素数はﾌｪﾙﾏｰ数(Fn=2^(2^n)+1)のうち素数になるものであり、かつてﾌｪﾙﾏｰはF0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537,…と5番目(F0~F4)までは全て素数であることを確認し、この式は素数のみを無限に算出できる式だと予想した。6番目のﾌｪﾙﾏｰ数のF5=4294967297は数も大きく当時、誰も素数かどうか判定できずにいた。

1732年、ﾚｵﾝﾊﾙﾄ･ｵｲﾗｰによりF5=641×6700417として素因数分解できる(F5は素数でない)ことが判明した。これによりﾌｪﾙﾏｰの予想は否定され、ﾌｪﾙﾏｰ数自体もその求められた価値を失った。ｵｲﾗｰは素数判定法も発見し、候補となる素因数をしらみつぶしに試して発見した。しかしF6ではさらに巨大数となり、ｵｲﾗｰの判定法でも手軽な方法ではなくなった。

ﾌｪﾙﾏｰ数は素数を生み出す式ではないためしばらく忘れ去られていたが、ｶﾞｳｽの作図定理によって作図可能な図形がﾌｪﾙﾏｰ素数と関係し、その価値が再び注目されることになった。

※素数判定機

平方剰余相互の法則

複素数を深く研究する中で「代数学の基本定理」を証明した。つまり「実数係数のn次方程式は、複素数の範囲に全ての解を持つ」という定理である。

この定理は複素数係数のn次方程式に拡張しても成立する。つまりn次方程式を解くとは、複素数は閉じた(新しい数を定義する必要がない)数世界であることを意味する。